• 速度
○ 距离 \(x(m)\) 经过时间 \(t(s)\) 匀速直线运动物体速度 \(v(m/s)\):
\(v=\frac{x}{t}\)
○ 时刻 \(t(s)\) 位移 \(x(m)\) 物体平均速度 \(\overline{v}(m/s)\):
\(\overline{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_{2}-x_{1}}{t_{2}-t_{1}}\)
○ 时刻 \(t(s)\) 位移 \(x(m)\) 物体瞬间速度 \(v(m/s)\):
\(v=\frac{dx}{dt}=lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=lim_{t_{2}\rightarrow t_{1}}\frac{x_{2}-x_{1}}{t_{2}-t_{1}}\)
○ A 对 B 相対速度: \(\vec{v_{A}}_{B}=\vec{v_{B}}-\vec{v_{A}}\)
\(\sum_{i}\vec{F_{i}}=\vec{0}\) (力的平衡)
\(\sum_{i}\vec{F_{i}}=\vec{0}\iff\vec{a}=\vec{0}\) (惯性定律、运动第一定律)
\(\vec{a}=k\frac{\vec{F}}{m}\) (运动定律、运动第二定律)
\(m\vec{a}=\vec{F}\) (运动方程式)
\(\vec{F}+\vec{F^{\prime}}=\vec{0}\) (作用・反作用定律、运动第三定律)
• 静止摩擦系数 \(\mu\)、正压力 \(N\) 的物体上作用的最大静止摩擦力 \(F_{max}\): \(F_{max}=\mu N\)
• 动摩擦系数 \(\mu^{\prime}\)、垂直抗力 \(N\) 的物体上作用的动摩擦力 \(F^{\prime}\): \(F^{\prime}=\mu^{\prime}N\)
• 摩擦角 \(\theta\) 时的静止摩擦係数 \(\mu\): \(\mu=tan~\theta\)
• 大气压为 \(p_{0}\) 时，密度为 \(\rho\) 的水中深度为 \(h\) 的物体所受到的水压: \(p=p_{0}+\rho gh\)
• 体积为 \(V\) 的物体在密度为 \(\rho\) 的水中所受到的浮力: \(F=\rho Vg\) (阿基米德原理)
• 速度为 \(\vec{v}\)、角速度为 \(\omega\) 的旋转物体，质量为 \(m\)，受到的科里奥利力为 \(\vec{F}\): \(\vec{F}=2m\vec{v}\omega\)
• \(\vec{M} = \vec{F} \times \vec{l}\) (力矩)
• \((x_{G},y_{G},z_{G})=(\sum_{k}\frac{m_{k}x_{k}}{x_{k}},\sum_{k}\frac{m_{k}y_{k}}{y_{k}},\sum_{k}\frac{m_{k}z_{k}}{z_{k}})\) (重心)
• \(\sum_{i}\vec{F_{i}}=\vec{0}\wedge\sum_{i}M_{i}=0\) (刚体静止的条件)
• 同一行星到焦点的距离 \(r_{1}, r_{2}\). 切线速度 \(\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}\):
\(\frac{1}{2}r_{1}v_{1}sin~\theta_{1}=\frac{1}{2}r_{2}v_{2}sin~\theta_{2}\) (第二定律、面积速度不变定律)
• 行星的公转周期 \(T\)、长半轴 \(a\): \(T^{2}=ka^{3}\Leftrightarrow\frac{T^{2}}{a^{3}}=k\) (第三定律、调和定律)
• 质量 \(M_{1}m\). 距离 \(r\) 的物体间受到的万有引力 \(F\): \(F=G\frac{Mm}{r^{2}}\) (G 为万有引力常数)
• 重力场: \(\begin{cases}g=G\frac{m}{r^{2}}\\ F=mg\end{cases}\)
• 重力质量与惯性质量的等效性: \(a=g\)
• 落体运动: \(\begin{cases}x=v_{x0}t+x_{0}\\ y=\frac{1}{2}gt^{2}+v_{y0}t+y_{0}\end{cases}\), \(v=gt+v_{0}\)
• 空气阻力比例常数为 \(k\) 时的最终速度: \(v_{f}=\frac{mg}{k}\)
• 位能: \(E_{\phi}=-\frac{GMm}{r}\)
• 第一宇宙速度: \(7.91~km/s\)
• 第二宇宙速度: \(11.2~km/s\)
• 第三宇宙速度: \(16.7~km/s\)
\(\begin{cases}x=r~cos~\omega t\\ y=r~sin~\omega t\end{cases}\), \(v=r\omega\), \(a=r\omega^{2}\)
\(T=\frac{2\pi}{\omega}\) (周期), \(F=-kx\) (弹性力), \(E=\frac{1}{2}kx^{2}\) (弹性势能)
\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\) (单振动的角速度), \(f=\frac{1}{T}\) (单振动的频率), \(x=A~sin~\omega t\) (单振动的位移)
\(\omega\simeq\sqrt{\frac{g}{l}}\) (单摆的角速度), \(\vec{F}=-m\omega^{2}\vec{x}\) (回复力)
• 角速度为 \(\omega\) 的旋转物体，质量为 \(m\)，到旋转中心的距离为 \(r\) 时的离心力为 \(\vec{F}\): \(\vec{F}=m\vec{r}\omega^{2}\)
• \(\vec{p}=m\vec{v}\) (动量)
• \(m\Delta\vec{v}=\vec{f}\Delta t\) (冲量)
• \(\sum_{i}\frac{m_{i}\vec{v_{i}}}{dt}=0\) (动量守恒)
• \(E_{v}=\frac{1}{2}m|\vec{v}|^{2}\) (动能)
• \(\sum_{i}\frac{E_{vi}+E_{\phi i}}{dt}=0\) (力学能守恒定律)
• \(e=-\frac{v_{1}^{\prime}-v_{2}^{\prime}}{v_{1}-v_{2}}\) (反弹系数)
\(W=\vec{F}\cdot\vec{x}=|\vec{F}||\vec{x}|cos~\theta\) (功)
\(P=\frac{dW}{dt}\) (功率、瓦特)
\(\Delta\vec{p}=\vec{f}\Delta t\) (动量定理)
\(\Delta E=W\) (能量原理)
• 绝对温度: \(T=t+273\)
• 线膨胀: \(L_{t}=L_{0}(1+\alpha t)\) (\(L_{0}\) 为 0℃ 时的长度，\(\alpha\) 为线膨胀系数)
• 体膨胀: \(V_{t}=V_{0}(1+\beta t)\) (\(V_{0}\) 为 0℃ 时的体积，\(\beta\) 为体膨胀系数)
• 热膨胀关系式: 当 \(|\Delta t|\) 不太大时，\(\beta=3\alpha\)
以下对于理想气体。
• 气体的压强: \(P=\frac{F}{S}\)
• 气体的功: \(E=P\Delta V\)
• 阿伏加德罗数: \(N_{0}=6.02214076\times10^{23}\)
• 气体定数: \(R=8.31kJ/(mol\cdot k)\)
• 波尔兹曼定数: \(k=\frac{R}{N_{0}}=1.38\times10^{-23}J/K\)
• 气体的状态方程: \(PV=nRT\)
• 单原子分子理想气体的内能: \(U=\frac{3}{2}nRT\)
• 分压强和总压强的关系式: \(P=\sum_{i}P_{i}=\sum_{i}\frac{n_{i}RT}{V}\)
• \(N\) 个分子的碰撞产生的压强: \(p=\frac{Nm\overline{v^{2}}}{3V}\)
• 动能和热能: \(\frac{1}{2}m\overline{v^{2}}=\frac{3}{2}kT\)
• 分子的均方根速度: \(\overline{v^{2}}=\frac{3RT}{N_{A}m}\)
• 比热: \(Q=mc\Delta T\)
• 热容量: \(C=mc\)
• 比热比: \(\gamma=\frac{C_{p}}{C_{V}}\)
• 气体的摩尔比热: \(\frac{dQ}{ndT}=C\)
• 热能守恒: \(\Delta Q=\Delta U+\Delta W\)
• 定压摩尔比热和定容摩尔比热之差: \(C_{P}-C_{V}=R\) (麦耶关系式)
• 转换热量和 P-V 图的面积: \(\Delta Q=\int\Delta P(V)dV\)
• 封闭系统的内能变化: \(\Delta U=\Delta Q-\Delta W\) (热力学第一定律)
• 泊松定律: \(pV^{\gamma}=const.\), \(TV^{\gamma-1}=const.\)
• 热效率: \(\eta=\frac{W}{Q}=\frac{Q_{in}-Q_{out}}{Q_{in}}\)
• 热力学第二定律: \(\eta<1\)
• 横波: 振动方向与传播方向垂直
• 纵波: 振动方向与传播方向平行
• 波形公式: \(y=A~sin\{2\pi(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda})+\phi\}\)
• 频率为 \(f(Hz)\)、周期为 \(T(s)\) 时: \(f=\frac{1}{T}\)
• 频率为 \(f(Hz)\)、波长为 \(\lambda(m)\) 时，波的速度 \(v(m/s)\): \(v=f\lambda=\frac{\lambda}{T}\)
• 叠加原理: \(Y=y_{1}+y_{2}\)
• 干涉相长: \(|l_{1}-l_{2}|=m\lambda\)
• 干涉相消: \(|l_{1}-l_{2}|=(m+\frac{1}{2})\lambda\)
• 入射角为 \(i(rad)\)，入射波速度和波长为 \(v_{i}(m/s)\)、\(\lambda_{i}(m)\)，折射角为 \(r(rad)\)，折射波速度和波长为 \(v_{r}(m/s)\) \(\lambda_{r}(m)\) 时，折射率 \(n\):
\(\frac{sin~i}{sin~r}=\frac{v_{i}}{v_{r}}=\frac{\lambda_{i}}{\lambda_{r}}=n\) (斯涅耳定律、折射定律)
• 波的速度 \(V(m/s)\), 观测者速度 \(v_{o}(m/s)\) (接近时为正), 声源速度 \(v_{s}(m/s)\) (接近时为正), 原始频率 \(f(Hz)\) 时观测到的频率 \(f^{\prime}(Hz)\): \(f^{\prime}=\frac{V-v_{o}}{V-v_{s}}f\)
• 无风时的音速: \(v_{t}=331.5+0.6t\)
• 拍频: \(f=|f_{1}-f_{2}|\)
• 弦、两端封闭、两端开放气柱的振动: \(\lambda_{n}=\frac{2l}{n}\)
• 一端开放气柱的振动: \(\lambda_{n}=\frac{4l}{2n-1}\)
• 弦的振动频率: \(f\propto\sqrt{\frac{F}{\rho}}\)
• 固有振动: \(f_{m}=\frac{v}{\lambda_{m}}=\frac{mv}{2L}\)
• 弦上传播的波: \(v=\sqrt{\frac{|\vec{S}|}{\rho}}\) (S 为弦的张力、\(\rho\) 为弦的线密度)
• 多普勒效应: \(f^{\prime}=\frac{|\vec{V}+\vec{w}-\vec{v_{o}}|}{|\vec{V}+\vec{w}-\vec{v_{s}}|}f\)
(\(|\vec{V}|\) 为声波的速度、\(\vec{w}\) 为风的速度、\(\vec{v_{o}}\) 为观测者的速度、\(\vec{v_{s}}\) 为声源的速度)
• 真空中的光速 (定义值): \(c=299~792~458~m/s\approx3.0\times10^{8}m/s\)
• 絶対屈折率: \(n=\frac{c}{v}\)
• 全反射的条件: \(sin~\theta_{c}>n_{12}\)
• 光程长: \(L=nl\)
• 增强衍射的条件 (无波长偏移): \(d~sin~\theta=m\lambda\)
• 减弱衍射的条件 (无波长偏移): \(d~sin~\theta=(m+\frac{1}{2})\lambda\)
透镜和镜的成像公式: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}\) (成像公式), \(m=|\frac{b}{a}|\) (放大率)
• 电流的强度 \(I(A)\)、电压 \(v(v)\) 电阻 \(R(\Omega)\):
\(I=\frac{V}{R}\Leftrightarrow V=RI\Leftrightarrow R=\frac{V}{I}\) (欧姆定律)
\(\begin{cases}\sum_{i}I_{i}=0\\ \sum_{i}V_{i}=0\end{cases}\) (基尔霍夫定律)
• 电阻: \(\rho_{t}=\rho_{0}(1+\alpha t)\) (电阻率的温度变化), \(R=\rho\frac{l}{S}\) (形状和电阻值)
• 合成电阻: \(R=\sum_{i}R_{i}\) (串联电路的合成电阻), \(\frac{1}{R}=\sum_{i}\frac{1}{R_{i}}\) (并联电路的合成电阻)
• 惠斯通电桥的平衡条件: \(R_{1}R_{4}=R_{2}R_{3}\Leftrightarrow\frac{R_{1}}{R_{3}}V=\frac{R_{2}}{R_{4}}V\)
• 消耗功率: \(P=I^{2}R=VI=\frac{V^{2}}{R}\)
• 焦耳定律: \(E=Pt=VIt\)
• \(Q=CV\) (电容器的电容)
• \(W=\frac{1}{2}CV^{2}\) (电容器的能量)
• \(\sum_{i}Q_{i}=\sum_{i}Q_{i}^{\prime}\) (电荷守恒定律)
• \(C_{0}=\epsilon_{0}\frac{S}{d}\) (真空平行板电容器的电容)
• \(\epsilon_{0}=8.85\times10^{-12}F/m\) (真空介电常数)
• \(\epsilon_{r}=\frac{C}{C_{0}}=\frac{\epsilon}{\epsilon_{0}}\) (相对介电常数)
• \(C=\epsilon\frac{S}{d}=\epsilon_{0}\epsilon_{r}\frac{S}{d}\) (介电常数为 \(\epsilon\) 的绝缘材料填充的平行板电容器的电容)
• 合成电容: \(\frac{1}{C}=\sum_{i}\frac{1}{C_{i}}\) (串联电容的合成), \(C=\sum_{i}C_{i}\) (并联电容的合成)
• 电容器的消耗功率: \(P=0\)
• \(U=\frac{1}{2}LI^{2}\) (线圈的能量)
• 合成电感: \(L=\sum_{i}L_{i}\) (串联电感的合成), \(\frac{1}{L}=\sum_{i}\frac{1}{L_{i}}\) (并联电感的合成)
• 线圈的消耗功率: \(P=0\)
• 自感应: \(V_{L}=-L\frac{dI}{dt}\)
• 互感应: \(V_{M}=-M\frac{dI}{dt}\)
• 交流波形: \(V(t)=V_{max}sin~\omega t\)
• 有效电压: \(V_{e}=\frac{1}{\sqrt{2}}V_{max}\)
• 有效电流: \(I_{e}=\frac{1}{\sqrt{2}}I_{max}\)
• 容抗: \(X_{C} = \frac{1}{\omega C}\)
• 感抗: \(X_{L} = \omega L\)
• 串联阻抗: \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\)
• 并联阻抗: \(\frac{1}{Z} = \sqrt{\frac{1}{R^2} + (\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_C})^2}\)
• 功率因数: \(cos\phi = \frac{R}{Z}\)
• 变压器: \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{N_1}{N_2}\)
• LC 电路的谐振条件: \(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\)
• 电量 \(q_{1} (C)\) 和 \(q_{2} (C)\) 之间的距离为 \(r (m)\)，介电常数为 \(\epsilon (F/m)\) 时，它们之间的静电力 \(F (N)\):
\(F = \frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\) (库仑定律)
• 库仑定律的比例常数: \(\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9.0 \times 10^9 N\cdot m^2/C^2\)
• 电场强度: \(E = \frac{F}{q}\)
• 真空中，表面积为 \(S\)，总电荷为 \(Q\) 的闭合曲面穿过的电场线数 \(N\): \(N = \frac{Q}{\epsilon_0}\) (高斯定律)
• 匀强电场中的电势差: \(V = Ed\)
• 电势能: \(U = qV\)
• 电流和电荷的关系: \(I = \frac{dQ}{dt}\)
• \(F = \frac{1}{4\pi\mu}\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\) (磁库仑定律)
• \(H = \frac{B}{\mu}\) (磁场强度)
• \(B = \frac{\mu I}{2\pi r}\) (直线电流产生的磁场)
• \(B = \frac{\mu I}{2r}\) (圆形电流产生的磁场)
• \(B = \mu nI\) (螺线管产生的磁场)
• \(\Phi = BS\) (磁通量)
• \(F = qvB\) (洛伦兹力)
• \(F = IB \times L\) (弗莱明左手定则、安培力)
• \(\Phi = BS\) (磁通量)
• \(V = -N\frac{d\Phi}{dt}\) (法拉第电磁感应定律)
• \(V = vBl\) (感应电动势)
• \(\frac{e}{m} = 1.76 \times 10^{11} C/kg\) (比荷)
• \(e = 1.602 \times 10^{-19} C\) (基本电荷)
• \(m_e = 9.109 \times 10^{-31} kg\) (电子的质量)
• \(1 eV = 1.602 \times 10^{-19} J\) (电子伏特)
• \(1 u = 1.6605 \times 10^{-27} kg\) (统一原子质量单位)
• \(h = 6.626 \times 10^{-34} J\cdot s\) (普朗克常数)
• 普朗克常数 \(h\)、位置不确定度 \(\Delta x\)、动量不确定度 \(\Delta p\):
\(\Delta x \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}\) (不确定性原理)
• \(E = mc^2\) (质能方程)
• \(E = hf - W_0\) (光电效应)
• \(E = hf\) (光子能量)
• \(p = \frac{h}{\lambda}\) (光子动量)
• \(\lambda = \frac{h}{p}\) (德布罗意波长)
• \(\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}\) (X 射线的截止波长)
• \(2d\sin\theta = m\lambda\) (布拉格条件)
• \(mvr = n\frac{h}{2\pi}\) (量子化条件)
• \(hf = E_2 - E_1\) (频率条件)
• \(r_n = n^2 a_0\) (电子轨道半径)
• \(a_0 = 5.29 \times 10^{-11} m\) (玻尔半径)
• \(E_n = -\frac{me^4}{8\epsilon_0^2 h^2 n^2}\) (能级)
• \(\frac{1}{\lambda} = R(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})\) (线光谱)
• \(R = 1.097 \times 10^7 m^{-1}\) (里德伯常量)
• \(\alpha\) 衰变: 放出氦核 (2 个质子、2 个中子)
• \(\beta^-\) 衰变: 中子衰变为质子和电子，放出电子
• \(\gamma\) 衰变: 放出高能光子
• 核裂变: 原子核分裂成两个或多个部分，释放能量
• 核聚变: 两个轻原子核结合，释放能量
• \(N(t) = N_0 (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T_{1/2}}}\) (半衰期)
• 电磁力 > 强相互作用 > 弱相互作用 > 重力 (基本相互作用的相对强度)