数学物理方法与偏微分方程

数学物理方法

复变函数

• 解析函数：满足柯西-黎曼方程的复变函数。
  \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]
• 柯西积分定理：描述解析函数沿闭合曲线积分的性质。
  \[ \oint_C f(z) dz = 0 \]
• 留数定理：用于计算复变函数沿闭合曲线的积分，特别是在有奇点的情况下。
  \[ \oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}(f, z_k) \]
• 傅里叶变换：用于将函数从时域转换到频域，便于分析和处理。
  \[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \]

特殊函数

• 贝塞尔函数：在圆柱坐标系中求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时出现。
  \[ x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - n^2)y = 0 \]
• 勒让德多项式：在球坐标系中求解拉普拉斯方程时出现。
  \[ (1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - 2x\frac{dy}{dx} + n(n+1)y = 0 \]
• 伽马函数：阶乘函数在复数域上的推广。
  \[ \Gamma(z) = \int_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt \]

偏微分方程

基本概念

• 偏微分方程 (PDE)：包含未知函数及其偏导数的方程。
• 阶：PDE 中出现的最高阶导数的阶数。
• 线性与非线性：如果 PDE 中未知函数及其导数以线性方式出现，则它是线性的，否则是非线性的。

常见偏微分方程

• 波动方程：描述波的传播，如声波、光波等。
  \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u \]
• 热传导方程：描述热量在物体内的传导过程。
  \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u \]
• 拉普拉斯方程：描述稳定状态下的物理现象，如静电场、稳态温度分布等。
  \[ \nabla^2 u = 0 \]

求解偏微分方程的方法

• 分离变量法：将 PDE 分解为若干个常微分方程 (ODE) 来求解。
• 格林函数法：通过求解点源的响应来得到 PDE 的通解。
• 积分变换法：利用傅里叶变换、拉普拉斯变换等将 PDE 转换为代数方程或 ODE 来求解。
• 数值方法：如有限差分法、有限元法等，用于求解无法解析求解的 PDE。