常见积分表

基本积分公式

函数	积分
\(x^n\) \((n \neq -1)\)	\(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
\(x^{-1} = \frac{1}{x}\)	\(\ln \|x\| + C\)
\(a^x\) \((a > 0, a \neq 1)\)	\(\frac{a^x}{\ln a} + C\)
\(e^x\)	\(e^x + C\)
\(\sin x\)	\(-\cos x + C\)
\(\cos x\)	\(\sin x + C\)
\(\tan x\)	\(\ln \|\sec x\| + C = -\ln \|\cos x\| + C\)
\(\cot x\)	\(\ln \|\sin x\| + C\)
\(\sec x\)	\(\ln \|\sec x + \tan x\| + C\)
\(\csc x\)	\(\ln \|\csc x - \cot x\| + C\)
\(\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\)	\(\arcsin \frac{x}{a} + C\) \((\|x\| < a)\)
\(\frac{1}{a^2 + x^2}\)	\(\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C\)
\(\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\)	\(\ln (x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C\)
\(\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\)	\(\ln \|x + \sqrt{x^2 - a^2}\| + C\)
\(\frac{1}{a^2 - x^2}\)	\(\frac{1}{2a} \ln \left\| \frac{a + x}{a - x} \right\| + C\)
\(\frac{1}{x^2 - a^2}\)	\(\frac{1}{2a} \ln \left\| \frac{x - a}{x + a} \right\| + C\)

换元积分法

第一类换元法

\(\int f(\varphi(x)) \varphi'(x) \, dx = \int f(u) \, du \quad (u = \varphi(x))\)

第二类换元法

\(\int f(x) \, dx = \int f(\psi(t)) \psi'(t) \, dt \quad (x = \psi(t))\)

常见第二类换元：

\(\sqrt{a^2 - x^2}\) ，令 \(x = a \sin t\) 或 \(x = a \cos t\)
\(\sqrt{x^2 + a^2}\) ，令 \(x = a \tan t\) 或 \(x = a \sinh t\)
\(\sqrt{x^2 - a^2}\) ，令 \(x = a \sec t\) 或 \(x = a \cosh t\)
\(x^{1/n}\) ，令 \(x = t^n\)

分部积分法

\(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)

常见选 u 的规律：

反三角函数
对数函数
幂函数
指数函数
三角函数

有理函数积分

函数	积分
\(\frac{1}{x^2 + a^2}\)	\(\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C\)
\(\frac{1}{(x-a)(x-b)}\) \((a \neq b)\)	\(\frac{1}{a-b} \ln \left\| \frac{x-a}{x-b} \right\| + C\)
\(\frac{px + q}{ax^2 + bx + c}\) \((b^2 - 4ac < 0)\)	\(\frac{p}{2a} \ln (ax^2 + bx + c) + \frac{2aq - pb}{\sqrt{4ac - b^2}} \arctan \frac{2ax + b}{\sqrt{4ac - b^2}} + C\)

三角函数积分

函数	积分
\(\sin^n x\)	\( \begin{cases} \frac{-\cos x \sin^{n-1} x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x \, dx, & (n \geq 2) \\ \frac{-(n-1) \cos x}{n} \sin^{n-1}x + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x \, dx, & (n \geq 2) \end{cases} \)
\(\cos^n x\)	\( \begin{cases} \frac{\sin x \cos^{n-1} x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \, dx, & (n \geq 2) \\ \frac{(n-1) \sin x}{n} \cos^{n-1}x + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \, dx, & (n \geq 2) \end{cases} \)
\(\tan^n x\)	\(\frac{\tan^{n-1} x}{n-1} - \int \tan^{n-2} x \, dx + C\) \((n \geq 2)\)
\(\cot^n x\)	\(\frac{-\cot^{n-1} x}{n-1} - \int \cot^{n-2} x \, dx + C\) \((n \geq 2)\)
\(\int \sin ax \cos bx \, dx\)	\(\frac{\cos(a-b)x}{2(a-b)} - \frac{\cos(a+b)x}{2(a+b)} + C\)

反三角函数积分

函数	积分
\(\arcsin x\)	\(x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C\)
\(\arccos x\)	\(x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C\)
\(\arctan x\)	\(x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C\)