理论力学

静力学

力的基本概念

• 力：物体间的相互作用，是物体运动状态改变的原因。
• 力的三要素：大小、方向、作用点。
• 力的单位：牛顿 (N)。

静力学公理

• 二力平衡公理：物体受两个力作用而处于平衡状态时，这两个力大小相等、方向相反、作用在同一直线上。
• 平行力系合成与分解公理：合力与分力作用效果相同。
• 加减平衡力系公理：在物体上加上或减去平衡力系，物体的平衡状态不变。
• 作用与反作用公理：作用力与反作用力大小相等、方向相反、作用在同一直线上。

力系的简化

• 力系的合成：求若干个力的合力。
• 力系的分解：将一个力分解为若干个分力。
• 力系的平衡条件：物体受力系作用而处于平衡状态的条件。
• \(\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M_O = 0\) (平面力系)
• \(\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum F_z = 0, \quad \sum M_x = 0, \quad \sum M_y = 0, \quad \sum M_z = 0\) (空间力系)

运动学

质点运动学

• 位移：质点位置的改变。
• 速度：位移随时间的变化率。
  \[ \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \]
• 加速度：速度随时间的变化率。
  \[ \mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} \]
• 运动方程：描述质点位置随时间变化的方程。

刚体运动学

• 平动：刚体中所有点运动轨迹相同。
• 转动：刚体绕定轴转动。
  • 角位移：刚体转过的角度。
  • 角速度：角位移随时间的变化率。 \(\omega = \frac{d\theta}{dt}\)
  • 角加速度：角速度随时间的变化率。 \(\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}\)
• 定轴转动：刚体绕固定轴的转动。
• 平面运动：刚体中各点的运动平行于某一固定平面。

动力学

质点动力学

• 牛顿定律：
  • 第一定律：物体在不受外力作用时，保持静止或匀速直线运动状态。
  • 第二定律：物体加速度的大小与合外力成正比，与质量成反比，加速度的方向与合外力方向相同。
    \[ \mathbf{F} = m\mathbf{a} \]
  • 第三定律：作用力与反作用力大小相等、方向相反、作用在同一直线上。
• 动量：物体质量与速度的乘积。 \(\mathbf{p} = m\mathbf{v}\)
• 冲量：力对时间的积分。 \(\mathbf{I} = \int \mathbf{F} dt\)
• 动量定理：物体动量的变化等于其所受合外力的冲量。
  \[ \mathbf{I} = \Delta \mathbf{p} \]
• 动量守恒定律：系统不受外力或所受合外力为零时，系统总动量保持不变。
• 功：力与位移的标量积。 \(W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{s}\)
• 功率：单位时间内所做的功。 \(P = \frac{dW}{dt} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}\)
• 动能：物体由于运动而具有的能量。 \(E_k = \frac{1}{2}mv^2\)
• 势能：物体由于其在力场中的位置而具有的能量。
• 机械能守恒定律：物体在保守力场中运动时，其动能和势能之和保持不变。

刚体动力学

• 转动惯量：描述刚体转动时惯性大小的物理量。
  \[ J = \int r^2 dm \]
• 转动定律：刚体绕定轴转动的加速度与所受合外力矩成正比，与转动惯量成反比。
  \[ M = J\alpha \]
• 角动量：物体转动时动量的度量。 \(\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\)
• 角动量守恒定律：系统不受外力矩或所受合外力矩为零时，系统总角动量保持不变。
• 刚体转动的动能：\(E_k = \frac{1}{2}J\omega^2\)

分析力学

拉格朗日方程

拉格朗日方程是分析力学中的重要方程，它提供了一种用广义坐标描述系统动力学行为的方法。

其中 \(L\) 是拉格朗日函数，\(q_i\) 是广义坐标，\(\dot{q}_i\) 是广义速度，\(Q_i\) 是广义力。

哈密顿方程

哈密顿方程是分析力学中描述物理系统演化的另一组重要方程。

其中 \(H\) 是哈密顿函数，\(q_i\) 是广义坐标，\(p_i\) 是共轭动量。